3次元ってすばらしい

昨年、神戸にて。夕暮れ時、大きな雲をつくっている工場がありました。

たまたまそう見えるわけですが、そんなファンタジーな写真を撮ることができました。

植松さんのブログで、北沢忠雄さんの考案したパズル「内外相似パズル」のルールを読んだとき、「これはやられたー！」と思いました。本当にすばらしいアイデアだと思います。

すなわち、いくつかの平面ピースを重ならないように並べて、穴の開いた図形を作り、穴の形と外側のアウトラインの形が相似になるようにせよ、という問題です。

で、そのとき、こんな形の問題は作れないかなぁというアイデアが頭に沸いたのですが、計算が面倒でずいぶんと放ってありました。また、昨年の１１月ごろからずっと忙しかったですし。なんとか年度末を迎えて、少し計算する余裕ができたので、最近つくってみたのがこれ。

ピースは全部で４枚。どれも四角形で、内角の大きさは４５度、９０度、１３５度、９０度になっています。もう少し凧型に近い形にしたかったのですが、なかなか思うようにはいかず、「直角二等辺三角形から片方の底角を少し切り落としたような形」になってしまいました。サイズが分かりやすいように、格子模様をつけておきました。紫、橙、赤の格子は同じ大きさ。青の格子は√２分の１で、少し小さい格子になっています。

こうやって並べてみると、もっと大きさが分かりやすいかな。

で、問題は「この４ピースを重ならないように並べて、穴の開いた図形を作り、穴の形と外側の形が相似になるようにせよ」、というもの。北沢さん考案の内外相似パズルのルールです。

先日、某パズルの会に考案したものを持っていったのですが、少し計算間違いがあったのと、そのままでは遊びにくいパズルだったので、デザインを変更しました。それが、上の写真のものになります。タイトルは「ＳＰ４」としました。

以前に5882353の謎について書きました。この数は、

588²+2353²=5882353

という性質を持ちながら、

5882353*17=100000001

という性質も持ってるわけです。でも、前者の性質だけの数もあります。

12²+33²=1233

などはその例です。このような数について考えます。

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結局、三角形を線対称な２つの図形に分割する方法としては以下の３つの系列と、２つの特殊解が分かっています。 続きを読む

「３０°ー６０°ー９０°の直角三角形を線対称図形２つに分ける」という前回の話のつづきです。

もともとこの問題は「四面体をいくつかに分割して組み合わせてもとの四面体の鏡像を作る」という話が大学院のゼミで出てきたところから、考えたものでした。
これを平面で考えると、実際、どんな三角形も、３つの二等辺三角形に分割することができますから（外心を使う）、どんな三角形も３分割して組みなおすと、もとの三角形の鏡像にすることができます。では、２分割ならどうだろう？と考えたわけです。いくつか検討して、これはどうも面白い問題だ、と出題しました。

すると、メーリングリストの仲間のかわかみさんから、思いもよらない別解が返ってきたのです。

現在までに５とおりの解が分かっています。３つまで紹介したので、残りの２つを示します。

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「３０°ー６０°ー９０°の直角三角形を線対称図形２つに分ける」という問題の続きです。

前回例示した

という解以外に、例えば次のような２つの解があります。

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昔、某MLで話題にして盛り上がった問題なのですが、そのまま放置していたので、自分自身も忘れてしまいそうで、ちょっと整理しておこうと思い、筆をとりました。

ちょっと作題を変えていますが、こんな問題を考えます。

問題：内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形があります。これを、２つの「線対称な図形」に分割してください。

 

例えば、次のように分割すると、正三角形と二等辺三角形になりますから、２つの線対称な図形に分割したことになります。

他にどんな分割方法があるでしょうか？あなたは、何通り考えつきますか？

以前(2007年)に5882353の謎について、書きました。
5882353というのは結構有名な不思議な数で、

588²+2353²=5882353

という性質のみならず、

5882353×17=100000001

という特異な性質も持っているわけです。
これは偶然なのか？！

いやこれは偶然ではない、必然だと。
これを一般化してほかの数でも同様の計算ができる、と
どうやら数年前の私が考えついたらしいのですが、
今朝、考えてみても一向に分からない。（笑）

そこで仕方なく、もう一度考えました。かなり時間がかかりましたが、
ようやく再現することができましたので、今度こそ記録を残そうと
思います。

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大学院のオリエンテーションの時間にみなさんのあいさつを聞きながら、

メモ紙に落書きしていて見つけたこと。教材になるかもしれないなぁ、と。

次の図のように、直角に曲がった壁に合わせて三角定規を置きます。

ここから、青い矢印で示した方向に、三角定規を滑らせるように傾けていきます。

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２００５年の日記をみると、次のようなことが書いてあります。

昨日、2/28の日記に書きましたが、和も積も一致する自然数３つの組について

今日も少し考えてみました。たとえば、次の式をご覧あれ。

２＋８＋９＝３＋４＋１２、　　 ２×８×９＝３×４×１２

その後、計算機を用いると、つぎのような数も見つかりました。

24+180+196　=　27+128+245　=　28+120+252　=　32+98+270　=　36+84+280　=　42+70+288

24*180*196　=　27*128*245　=　28*120*252　=　32*98*270　=　36*84*280　=　42*70*288

このような組が見つかってくると、どんなｎに対しても、和、積が一致するようなｎ個の「自然数の３つ組」が存在するのではないか、と予想したくなります。で、解決の手立ても、テキストも目途があったので、この問題、いつか大学院のゼミで扱おう、と思っていました。

で、本日、K君のゼミで解決しました。答えはYesです。つまり、どんなｎに対しても、和、積が一致する「自然数の３つ組」がｎ個以上存在します。

実際、和が１で、積が９１／３６４５となる「正の有理数の３つ組」は無数に存在します。好きなだけ、そのような３つ組を選んでから、全体に分母の最小公倍数をかけてやればいいわけです。